Question

已知曲線C：（5-m）x²+（m-2）y²=8（m∈R），O為坐標原點．
（Ⅰ）若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓且離心率，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設m=4，直線l過點（0，1）且與曲線C交于不同的兩點A、B，求當△ABO的面積取得最大值時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）先化簡方程，根據橢圓的標準方程及離心率不等式求出m滿足的條件，再求解．
（II）設出直線方程，及直線與橢圓的交點坐標，再根據弦長公式及三角形面積公式，將面積S表示成K的函數，用換元法求函數S（K）的最值及取的最值的K值．
解答：解：（I）方程化為+=1，∵是焦點在x軸點上的橢圓，
∴m-2＞5-m＞0⇒＜m＜5
∵e=＞⇒4c²＞2a²⇒a²＞2b²⇒m＞4，
∴m的取值范圍是4＜m＜5．
（II）當m=4時，曲線C的方程為：+=1，
①當傾斜角為 時，三角形不存在；
②當斜率存在時，設直線方程為y=kx+1，則原點O到直線的距離d=，
 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為直線與橢圓的兩個交點，
聯立直線和橢圓方程消去y可得（2k²+1）x²+4kx-6=0，
則，，|AB|=
S=|AB|=
===
令，t∈（0，1]；
S=-=-2t²+8t=8-2（t-2）²，
在（0，1]單調遞增，
∴當t=1時上式為最大值，最大值是6，此時k=0，直線方程為y=1．
點評：本題考查橢圓的標準方程、幾何性質及直線與圓錐曲線的最值問題．利用函數思想，構造函數求最值是解本題的關鍵．