Question

已知正項數列{a_n}中，a1=1，an+1=1+

an

1+an

(n∈N*)．用數學歸納法證明：an＜an+1(n∈N*)．

Answer 1

分析：直接利用數學歸納法的證明步驟，通過n=1驗證不等式成立；假設n=k時不等式成立，證明n=k+1時不等式也成立即可．

解答：證明：當n=1時，a2=1+

a1

1+a1

=

3

2

，a₁＜a₂，所以n=1時，不等式成立．
假設n=k（k∈N^*）時，a_k＜a_k+1成立，則n=k+1時，
ak+2-ak+1= 1+

ak+1

1+ak+1

-ak+1
=1+

ak+1

1+ak+1

-(1+

ak

1+ak

)
=

ak

1+ak

-

ak+1

1+ak+1

=

ak+1-ak

(1+ak+1)(1+ak)

＞0；
即a_k+2-a_k+1＞0，
所以n=k+1時，不等式也成立．
綜上所述，不等式an＜an+1(n∈N*)成立．

點評：本題考查數列與不等式的證明，考查數學歸納法證明步驟的應用，注意證明n=k+1時必須用上假設，考查邏輯推理能力．