Question

一個長方體的對角線長為l，全面積為S，給出下列四個實數對：①（8，128）；②（7，50）；③（6，80）；④（

1

2

，

1

2

），其中可作為（l，S）取值的實數對的序號是

 

．

Answer 1

分析：本題考查的是長方體的對角線和側面積問題．在解答時，要充分考慮長方體體所滿足的幾何特征，從而轉化出必備條件結合條件即可獲得問題的解答．具體解答時可以先設出相鄰三棱長進而找到對角線與側面積之間的關系．

解答：解：由題意可知：如圖
設長方體的相鄰三棱長分別為x、y、z．
則：l²=x²+y²+z²
S=2（xy+xz+yz）=2xy+2xz+2yz
又∵S=2xy+2xz+2yz≤（x²+y²）+（x²+z²）+（y²+z²）
=2（x²+y²+z²）=2•l²，
當且僅當x=y=z時等號成立．
由S≤2•l²又因為：
128≤2×64=128成立、50＜2×49=98成立、80＜2×36=72不成立、

1

2

≤2×

1

4

=

1

2

成立．
故答案為：①②④．

點評：本題考查的是長方體的對角線和側面積問題．在解答的過程當中充分體現了數據的處理轉化、圖形的觀察利用以及基本不等式的利用．值得同學們體會反思．