Question

函數f（x）=x³-3x．
（1）求函數f（x）的極值；
（2）已知f（x）在[t，t+2]上是增函數，求t的取值范圍；
（3）f（x）在[t，t+2]上最大值M與最小值m之差M-m為g（t），求g（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）令其等于0求出駐點，分區間討論函數的增減性求出函數極值即可；
（2）由圖象f（x）在[t，t+2]上為增函數，即t+2≤-1或t≥1即可得到t的取值范圍；
（3）令f（t+2）=f（t）求出t的值，用（2）中t的取值范圍，和函數的駐點分6種情況求出函數的最大值與最小值相減得到g（t）的解析式，分別各段函數的最小值比較最小即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0，x=±1，如圖所示：

所以，f（x）_極大=f（-1）=2，f（x）_極小=f（1）=-2．
（2）f（x）在[t，t+2]上是增函數，必須有t+2≤-1或t≥1，
所以t的取值范圍是（-∞，-3]∪[1，+∞）．
（3）當t≤-3時，m=f（t），M=f（t+2），g（t）=M-m=6t²+12t+2，
令f（t+2）=f（t），6t²+12t+2=0，t=-1±

6

3

，
當-3＜t≤-1-

6

3

時，m=f（t），M=2，g（t）=-t³+3t+2，
當-1-

6

3

＜t≤-1時，m=f（t+2），M=2，g（t）=-t³+6t²-9t，
當-1＜t≤-1+

6

3

，m=-2，M=f（t），g（t）=t³-3t+2，
當-1+

6

3

＜t≤1時，m=-2，M=f（t+2），g（t）=t³+6t²+9t+4，
當t＞1時，m=f（t），M=f（t+2），g（t）=6t²+12t+2．
∴g(t)=

6t2+12t+2 (t≤-3) -t3+3t+2 (-3＜t≤-1- 6 3 ) -t3-6t2-9t (-1- 6 3 ＜t≤-1) t3-3t+2 (-1＜t≤-1+ 6 3 ) t3+6t2+9t+4 (-1+ 6 3 ＜t≤1) 6t2+12t+2 (t＞1)

g（t）最小值為g(-1-

6

3

)=g(-1+

6

3

)=2+

2 6

9

．

點評：考查學生利用導數求函數極值的能力，利用導數研究函數單調性的能力，利用導數求閉區間上函數最值的能力．