Question

如圖直角梯形OABC位于平面直角坐標系中，其中OC=1，BC=1，OA=2，動點P從C出發沿折線段CBA運動到A（包括端點），設點P的橫坐標為x，函數f（x）=

OP

•

PA

．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）出函數y=f（x）的草圖，并求f（x）的單調遞增區間；
（3）若函數y=f（x）-c有零點，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分當點P位于線段BC時，即0≤x≤1，點P（x，1），可得

OP

，

PA

，

OP

•

PA

，即可得出y．
當點P位于BA上時，即1＜x≤2，點P（x，2-x），可得

OP

，

PA

，

OP

•

PA

，即可得出y．進而得到f（x）．
（2）根據圖象的畫法即可；
（3）先求出f（x）的值域即可．

解答：解：（1）由已知C（0，1），A（2，0）．
當點P位于線段BC時，即0≤x≤1，點P（x，1），∴

OP

=(x，1)，

PA

=(2-x，-1)．
y=

OP

•

PA

=x（2-x）-1=-x²+2x-1．
當點P位于BA上時，即1＜x≤2，點P（x，2-x），則

OP

=(x，2-x)，

PA

=(2-x，x-2)，
y=

OP

•

PA

=x（2-x）+（2-x）（x-2）=-2x²+6x-4．
于是函數f（x）=

-x2+2x-1，(0≤x≤1) -2x2+6x-4，(1＜x≤2)

（2）f（x）的單調區間為[0，

3

2

]．
（3）由函數圖象可得f（0）=-1，f(

3

2

)=

1

2

．∴c的取值范圍是[-1，

1

2

]．

點評：熟練掌握圖象的畫法、數量積運算、分段函數的意義、函數的性質等是解題的關鍵．