Question

如圖甲，一個正方體魔方由27個單位（長度為1個單位長度）小立方體組成，把魔方中間的一層EFGH-E₁F₁G₁H₁轉動α，如圖乙，設α的對邊長為x

（1）試用α表示x；
（2）求魔方增加的表面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把魔方中間的一層EFGH-E₁F₁G₁H₁轉動α，根據正方體的邊長為3，可得邊長被截得的三段長分別為x，，，進而可用α表示x；
（2）魔方增加的表面積為S=8-，結合（1）可得S=，α∈（0，），令t=sinα+cosα=sin（α+），t∈（1，]，利用分析法可得函數的最值．
解答：解：（1）由題意得x++=3，
解得x==，α∈（0，），（6分）
（2）魔方增加的表面積為S=8×，
由（1）得S=，α∈（0，），（10分）
令t=sinα+cosα=sin（α+），t∈（1，]，
則S==36（1-）≤36×（1-）=108-72
（當且僅當t=，即時等號成立），
答：當時，魔方增加的表面積最大為108-72．（12分）
點評：本題考查的知識點是求函數的解析式，函數的最值，其中根據邊長被截得的三段長分別為x，，，用α表示x是解答的關鍵．