Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右準線與一條漸近線交于點M，F是右焦點，若|MF|=1，且雙曲線C的離心率e=

6

2

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點A（0，1）的直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點P、Q，且P在A、Q之間，若

AP

=λ

AQ

且λ≥

1

3

，求直線l斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用雙曲線的右準線與一條漸近線交于點M，可求點M的坐標，由|MF|=1，可得方程，借助于離心率e=

6

2

及幾何量的關系，從而求出雙曲線的方程；
（2）將直線與雙曲線的方程聯立可得（1-2k²）x²-4kx-4=0，，從而可有

△=16k2+16(1-2k2)＞0 x1+x2= -4k 2k2-1 ＞0 x1x2= 4 2k2-1 ＞0 1-2k2≠0

，即

1

2

＜k2＜1且k＜0，再根據

AP

=λ

AQ

且λ≥

1

3

，有

(1+λ)2

λ

=

4k2

2k2-1

=2+

2

2k2-1

，從而可求k的取值范圍．

解答：解：（1）由對稱性，不妨設M是右準線x=

a2

c

與一漸近線y=

b

a

x的交點，
其坐標為M（

a2

c

，

ab

c

），∵|MF|=1，∴

b4

c2

+

a2b2

c2

=1，
又e=

c

a

=

6

2

∴

b

a

=

e2-1

=

2

2

，c2=a2+b2=

3

2

a2，
解得a²=2，b²=1，所以雙曲線C的方程是

x2

2

-y2=1；（6分）
（2）設直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1，設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y=kx+1 x2-2y2=2

得：（1-2k²）x²-4kx-4=0，
∵l與雙曲線C的右支交于不同的兩點P、Q，
∴

△=16k2+16(1-2k2)＞0 x1+x2= -4k 2k2-1 ＞0 x1x2= 4 2k2-1 ＞0 1-2k2≠0

∴

1

2

＜k2＜1且k＜0①（9分）
又∵

AP

=λ

AQ

且P在A、Q之間，λ≥

1

3

，∴x₁=λx₂且

1

3

≤λ＜1，
∴

(1+λ)x2= -4k 2k2-1 λ x 2 2 = 4 2k2-1

∴

(1+λ)2

λ

=

4k2

2k2-1

=2+

2

2k2-1

，
∵f(λ)=

(1+λ)2

λ

=λ+

1

λ

+2在[

1

3

，1)上是減函數（∵f′（λ）＜0），
∴4＜f(λ)≤

16

3

，
∴4＜2+

2

2k2-1

≤

16

3

，由于k2＞

1

2

，∴

4

5

≤k2＜1②（12分）
由①②可得：-1＜k≤-

2 5

5

，（13分）
即直線l斜率取值范圍為(-1，-

2 5

5

]（14分）

點評：本題考查雙曲線標準方程的求解，關鍵是尋找?guī)缀瘟恐�間的關系，考查直線與雙曲線的位置關系，通過聯立方程組，借助于根與系數的關系，從而使問題得解．