Question

如圖是一個直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁=B₁C₁=2，∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3．
（I）設點O是AB的中點，證明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（II）求此幾何體的體積；
（Ⅲ）點F為AA₁上一點，若BF⊥平面COB₁，求AF的長．

Answer 1

（I）證明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D，則OD∥BB₁∥CC₁．
∵O是AB的中點，∴OD==CC₁．
∴ODC₁C是平行四邊形，∴OC∥C₁D．
∵C₁D?平面A₁B₁C₁且OC?平面A₁B₁C₁，
∴OC∥面A₁B₁C₁．
（II）以同樣大的幾何體，進行補形，可得一直三棱柱，底面為△A₁B₁C₁，高為6
∴所求幾何體體積為V=
（Ⅲ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則B₁（0，0，0），B（0，0，2），C（0，2，3），
設F（2，0，m），則，
若BF⊥平面COB₁，則BF⊥B₁C，∴m=2
∴AF=2
分析：（I）借助線面平行的判定定理證明OC∥平面A₁B₁C₁．證明OC平行于平面A₁B₁C₁內的一條直線即可；
（II）以同樣大的幾何體，進行補形，可得一直三棱柱，底面為△A₁B₁C₁，高為6，從而可求求幾何體體積；
（Ⅲ）建立如圖所示的空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，利用若BF⊥平面COB₁，則BF⊥B₁C，即可求得結論．
點評：本題考查線面平行，考查幾何體的條件，考查線面垂直，掌握線面平行的判定，合理補形是關鍵．