Question

某人居住在城鎮的A處，準備開車到單位B處上班，若該地各路段發生堵車事件都是相互獨立的，且在同一路段發生堵車事件最多只有一次，發生堵車事件的概率如圖．(例如：A→C→D算作兩個路段：路段AC發生堵車事件的概率為，路段CD發生堵車事件的概率為)

(1)請你為其選擇一條由A到B的最短路線(即此人只選擇從西向東和從南向北的路線)，使得途中發生堵車事件的概率最小；

(2)若記路線A→C→F→B中遇到堵車次數為隨機變量ξ，求ξ的數學期望Eξ．

Answer 1

解：(1)記路段MN發生堵車事件為MN．

因為各路段發生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發生堵車事件最多只有一次，所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P₁為

1-P()=1-P()·P()·P()

=1-[1-P(AC)][1-P(CD)][1-P(DB)]=1-；

同理：路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P₂為1-P()=(小于)

路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P₃為1-P()=(大于)

顯然要使得由A到B的路線途中發生堵車事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇．

因此選擇路線A→C→F→B，可使得途中發生堵車事件的概率最小．

(2)路線A→C→F→B中遇到堵車次數ξ可取值為0，1，2，3．

P(ξ=0)=P()=．

P(ξ=1)=P(AC·)+P(·CF·)+P()

=

P(ξ=2)=P(AC·CF·)+P(AC··FB)+P(·CF·FB)

P(ξ=3)=P(AC·CF·FB)=，

∴Eξ=0×+1×

答：路線A→C→F→B中遇到堵車次數的數學期望為.