Question

【題目】某公司為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷，經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t百萬元，可增加銷售額約為百萬元.

（Ⅰ）若該公司將一年的廣告費(fèi)控制在4百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費(fèi)，才能使該公司由此增加的收益最大？

（Ⅱ）現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入5百萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造，經(jīng)預(yù)測，每投入技術(shù)改造費(fèi)百萬元，可增加的銷售額約為百萬元，請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案，使該公司由此增加的收益最大.

（注：收益=銷售額-投入，這里除了廣告費(fèi)和技術(shù)改造費(fèi)，不考慮其他的投入）

Answer 1

【答案】（1）投入3百萬元的廣告費(fèi)時(shí)，該公司由此增加的收益最大.（2）4百萬元用于技術(shù)改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司由此增加的收益最大

【解析】分析：（Ⅰ）先寫出收益f(t)的解析式，再利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求最大值和此時(shí)t 的值. （Ⅱ）設(shè)由此增加的收益是g(x)百萬元,再寫出g(x)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，即得資金分配方案.

詳解：（Ⅰ）設(shè)投入t百萬元的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)百萬元，

則由，

∴當(dāng)t=3時(shí)，f(t)取得最大值9，即投入3百萬元的廣告費(fèi)時(shí)，該公司由此增加的收益最大.

（Ⅱ）用于技術(shù)改造的資金為x百萬元，則用于廣告促銷的資金為(5-x)百萬元，設(shè)由此增加的收益是g(x)百萬元.

則.

.

則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∴當(dāng)x=4時(shí)，g(x)取得最大值.

即4百萬元用于技術(shù)改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司由此增加的收益最大.