Question

（2014•江門模擬）如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱垂直底面，AC⊥BC，D是棱AA₁的中點，AA₁=2AC=2BC=2a（a＞0）．
（1）證明：C₁D⊥平面BDC；
（2）求三棱錐C-BC₁D的體積．

Answer 1

分析：（1）通過證線線垂直證明BC⊥平面CDC₁，由線面垂直的性質可得BC⊥C₁D₁，再根據A₁C₁=A₁D=AD=AC，證∠CDC₁=

π

2

，然后由線線垂直⇒線面垂直；
（2）根據VC-BDC1=VC1-BCD，求得棱錐的底面S_△BCD與高C₁D，代入公式計算即可．

解答：解：（1）證明：∵BC⊥CC₁，BC⊥AC，AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁A ₁，
C₁D?平面ACC₁A ₁，∴BC⊥C₁D，
A₁C₁=A₁D=AD=AC，∴∠A1DC1=∠ADC=

π

4

，
∴∠C1DC=

π

2

，即C₁D⊥DC，
又BD∩CD=C，∴C₁D⊥平面BDC，
（2）三棱錐C-BC₁D即三棱錐C₁-BCD，由（1）知BC⊥CD，
CD=

2

a，BC=a
∴△BCD的面積S=

1

2

×BC×CD=

2

2

a2，
由（1）知，C₁D是三棱錐C₁-BCD底面BDC上的高，
∴體積V=

1

3

Sh=

1

3

×S×C1D=

1

3

×

2

2

a2×

2

a=

1

3

a3．

點評：本題考查了線面垂直的判定，考查了三棱錐的體積計算，利用三棱錐的換底性求體積是常用方法．