Question

以下四個關于圓錐曲線的命題中:

①設A、B為兩個定點，k為非零常數，||-||=k，則動點P的軌跡為雙曲線；

②過定圓C上一定點A作該圓的動弦AB，O為坐標原點，若=(+),則動點P的軌跡為橢圓；

③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

④雙曲線=1與橢圓=1有相同的焦點.

其中真命題的序號為_________.（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

③④

解析:據雙曲線的定義否定①;

以C為原點，半徑為r的圓，設A(r,0),B(x₀,y₀),圓C方程為x²+y²=r²,P(x,y),則=(+),(x,y)=(r+x₀,y₀),得

∴(2x-r)²+(2y)²=r²,

即(x-)²+y²=()².否定②;

由2x²-5x+2=(2x-1)(x-2)=0,得x=或x=2,肯定③;

由=1,得焦點F₁(,0),F₂(-,0).

由+y²=1,得焦點F₁′(,0),F₂(-,0),肯定④.