Question

如圖2-6-13,已知⊙O₁、⊙O₂外切于點P,過⊙O₁上一點B作⊙O₁的切線,交⊙O₂于C、D,直線PB交⊙O₂于點A.

圖2-6-13

求證:AD²+BC·BD=AB².

Answer 1

解析:由BC·BD聯想到割線定理BC·BD=BP·AB,又等式右邊含AB²,考慮移項后和差化積.

AD²=AB²-BC·BD=AB²-BP·AB

=AB(AB-BP)=AB·AP.

只需證AD²=AB·AP,利用△ABD∽△ADP.

證明:過P作公切線EF交BD于點E,

由切線長定理,得EB=EP.

∴∠B=∠EPB.∵∠EPB=∠APF,∠APF=∠ADP.

∴∠B=∠ADP.

又∠A=∠A,∴△ABD∽△ADP.

∴=.

∴AD²=AB·AP.

由割線定理,得BC·BD=BP·AB.

∴AD²+BC·BD=AB·AP+BP·AB=AB(AP+BP)=AB².

∴AD²+BC·BD=AB².