Question

（2012•江蘇一模）已知函數f(x)=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 2x-1，x∈[ 1 2 ，2)

若存在x₁，x₂，當0≤x₁＜x₂＜2時，f（x₁）=f（x₂），則x₁f（x₂）的取值范圍是

[

2- 2

4

，

1

2

）

．

Answer 1

分析：先作出函數圖象然后根據圖象可得要使存在x₁，x₂，當0≤x₁＜x₂＜2時，f（x₁）=f（x₂）則必有0≤x₁＜

1

2

且x+

1

2

在[0，

1

2

）的最小值大于等于2^x-1在[

1

2

，2）的最小值從而得出x₁的取值范圍然后再根據x₁f（x₂）=x₁f（x₁）=x12+

1

2

x1即問題轉化為求y=x12+

1

2

x1在x₁的取值范上的值域．

解答：解：作出函數f(x)=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 2x-1，x∈[ 1 2 ，2)

的圖象：
∵存在x₁，x₂，當0≤x₁＜x₂＜2時，f（x₁）=f（x₂）
∴0≤x₁＜

1

2

∵x+

1

2

在[0，

1

2

）上的最小值為

1

2

；2^x-1在[

1

2

，2）的最小值為

2

2

∴x₁+

1

2

≥

2

2

，x₁≥

2 - 1

2

∴

2 - 1

2

≤x₁＜

1

2

∵f（x₁）=x₁+

1

2

，f（x₁）=f（x₂）
∴x₁f（x₂）=x₁f（x₁）=x12+

1

2

x1
令y=x12+

1

2

x1（

2 - 1

2

≤x₁＜

1

2

）
∴y=x12+

1

2

x1為開口向上，對稱軸為x=-

1

4

的拋物線
∴y=x12+

1

2

x1在區間[

2 - 1

2

，

1

2

）上遞增
∴當x=

2 - 1

2

時y=

2- 2

4

當x=

1

2

時y=

1

2

∴y∈[

2- 2

4

，

1

2

）
即x₁f（x₂）的取值范圍為[

2- 2

4

，

1

2

）
故答案為[

2- 2

4

，

1

2

）

點評：本題主要考查了利用一元二次函數的單調性求函數的值域，屬常考題，較難．解題的關鍵是根據函數的圖象得出x₁的取值范圍進而轉化為y=x12+

1

2

x1在x₁的取值范上的值域即為所求同時一元二次函數的單調性的判斷需考察對稱軸與區間的關系這要引起重視！