Question

（2012•安徽模擬）等差數(shù)列{a_n}的公差d∈（0，1），且

sin2a3-sin2a7

sin(a3+a7)

=-1，當(dāng)n=10時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n取得最小值，則首項(xiàng)a₁的取值范圍為（　　）

• A．(-

  5

  8

  π，-

  9

  16

  π)
• B．[-

  5

  8

  π，-

  9

  16

  π]
• C．(-

  5

  4

  π，-

  9

  8

  π)
• D．[-

  5

  4

  π，-

  9

  8

  π]

Answer 1

分析：利用三角函數(shù)的降冪公式將條件

sin2a3-sin2a7

sin(a3+a7)

=-1轉(zhuǎn)化為：

cos2a7-cos2a3

2

=-sin（a₃+a₇），再利用和差化積公式轉(zhuǎn)化，求得sin（a₇-a₃）=1，從而可求得等差數(shù)列{a_n}的公差d=

π

8

，
再由

a10≤0 a11≥0

即可求得首項(xiàng)a₁的取值范圍．

解答：解：∵{a_n}為等差數(shù)列，

sin2a3-sin2a7

sin(a3+a7)

=-1，
∴

1-cos2a3 2 - 1-cos2a7 2

sin(a3+a7)

=-1，
∴

cos2a7-cos2a3

2

=-sin（a₃+a₇），
由和差化積公式可得：

1

2

×（-2）sin（a₇+a₃）•sin（a₇-a₃）=-sin（a₃+a₇），
∵sin（a₃+a₇）≠0，
∴sin（a₇-a₃）=1，
∴4d=2kπ+

π

2

∈（0，4）
∴k=0，
∴4d=

π

2

，d=

π

8

．
∵n=10時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n取得最小值，
∴

a10≤0 a11≥0

即

a1+9× π 8 ≤0 a1+10× π 8 ≥0

，
∴-

5π

4

≤a₁≤-

9π

8

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，利用三角函數(shù)的降冪公式與和差化積公式求得sin（a₇-a₃）=1是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，繼而可求出d=

π

8

，問(wèn)題迎刃而解，突出化歸思想與函數(shù)與方程思想的考查，屬于難題．