Question

在△ABC中，三個內角A，B，C所對的邊為a，b，c，且

b

2

=

a

2

-ac+

c

2

，C-A=90°，則cosAcosC=（　　）

• A．

  1

  4

• B．-

  1

  4

• C．

  2

  4

• D．-

  2

  4

Answer 1

分析：根據余弦定理，結合已知條件邊的平方關系可得B=60°，再由三角形內角和定理結合C-A=90°，解得A=15°，C=105°．由此結合特殊角的三角函數值及和與差的余弦公式公式，不難算出cosAcosC的值．

解答：解：∵在△ABC中，

b

2

=

a

2

-ac+

c

2

∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

ac

2ac

=

1

2

結合B∈（0°，180°），得B=60°
∵C-A=90°，C+A=180°-B=120°
∴C=105°，A=15°，
得cosA=cos（45°-30°）=

6 + 2

4

，cosC=cos（45°++60°）=

2 - 6

4

∴cosAcosC=

6 + 2

4

•

2 - 6

4

=-

1

4

故選：B

點評：本題在△ABC中，已知邊的平方關系和兩角之差，求兩個角的余弦之積，著重考查了運用余弦定理解三角形、兩角和與差的余弦公式和特殊角的三角函數值等知識，屬于基礎題．