Question

（本題滿分14分）如圖，在三棱錐中，

，，

設頂點在底面上的射影為．

（Ⅰ）求證:；

（Ⅱ）設點在棱上，且，

試求二面角的余弦值

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

證明：（I）方法一：由平面得，

又，則平面，

故，…………………………………………3分

 

同理可得，則為矩形，又，

則為正方形，故．…………………6分

方法二：由已知可得，設為的中點，則

，則平面，故平面平面，則頂點在

底面上的射影必在，故．

（II）方法一:由（I）的證明過程知平面，過作，垂足為，

則易證得，故即為二面角的平面角，……………………………9分

由已知可得，則，故，則，

 

又，則，……………………………………………………………… 故，即二面角的余弦值為．………………………14

分

 

方法二: 由（I）的證明過程知為正方形，如圖建立坐

標系，則，

可得，則，易知平面

的一個法向量為，設平面的一個法向量為

，則由得，

則，即二面角的余弦值為．

 

【解析】略