Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）過點（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）若點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓C上的亮點，且x₁≠x₂，點P（1，0），證明：△PAB不可能為等邊三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意列關于a，b，c的方程組，求解得到a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）求出PA，PB，證明|PA|≠|PB|，即可證明：△PAB不可能為等邊三角形．

解答 （I）解：由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{4{a}^{2}}+\frac{6}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得${a}^{2}=\frac{9}{2}，{b}^{2}=3$．
∴橢圓C的標準方程為$\frac{2{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（II）證明：證明：A（x₁，y₁），則$2{{x}_{1}}^{2}+3{{y}_{1}}^{2}=9$，且x₁∈[-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]，
|PA|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{y}_{1}2}$=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+3-\frac{2}{3}{{x}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}（{x}_{1}-3）^{2}+1}$，
B（x₂，y₂），同理可得|PB|=$\sqrt{\frac{1}{3}（{x}_{2}-3）^{2}+1}$，且x₂∈[-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]．
y=$\frac{1}{3}（x-3）^{2}+1$在[-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]上單調，
∴有x₁=x₂?|PA|=|PB|，
∵x₁≠x₂，∴|PA|≠|PB|，
∴△PAB不可能為等邊三角形．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，考查兩點間距離公式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．