Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與x軸，y軸的正半輛分別交于A，B兩點，原點O到直線AB的距離為

2 5

5

，該橢圓的離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點P(0，

5

3

)的直線l與橢圓交于兩個不同的點M，N，求線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設直線AB的方程為bx+ay-ab=0，利用原點O到直線AB的距離為

2 5

5

，橢圓的離心率為

3

2

，建立方程可求a、b的值，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）當直線斜率不存在時，線段MN的垂直平分線的縱截距為0；當直線斜率k存在時，設直線l的方程為y=kx+

5

3

，代入

x2

4

+y2=1，消去y得（9+36k²）x²+120kx+64=0，進而可求線段MN的垂直平分線方程，由此即可求得線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設直線AB的方程為bx+ay-ab=0
∵原點O到直線AB的距離為

2 5

5

，∴

|ab|

a2+b2

=

2 5

5

①
∵橢圓的離心率為

3

2

，∴

a2-b2

a2

=

3

4

②
由①②可得：a=2，b=1
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）當直線斜率不存在時，線段MN的垂直平分線的縱截距為0
當直線斜率k存在時，設直線l的方程為y=kx+

5

3

，代入

x2

4

+y2=1，消去y得（9+36k²）x²+120kx+64=0
∵△=14400k²-256（9+36k²）＞0，∴k2＞

4

9

設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為Q（x₀，y₀）
∴x0=

x1+x2

2

=

-20k

3+12k2

，y0=kx0+

5

3

=

5

3+12k2

∴Q(

-20k

3+12k2

， 

5

3+12k2

)
∴線段MN的垂直平分線方程為y-

5

3+12k2

=-

1

k

(x+

20k

3+12k2

)
令x=0，則y=

-15k

3+12k2

，
由k2＞

4

9

，可得-

9

5

＜y＜0
∴線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍為(-

9

5

，0]．

點評：本題綜合考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是確定線段MN的垂直平分線．