Question

已知函數（）．

（1）若，在上是單調增函數，求的取值范圍；

（2）若，求方程在上解的個數．

 

Answer 1

【答案】

（1）．     

（2）當a≥3時，≥0，∴g(x)＝0在上有惟一解．

當時，<0，∴g(x)＝0在上無解．

【解析】（1）然后分別研究時,恒成立且時,恒成立時b的取值范圍即可.

(2) 構造函數，即

分別研究和上的單調性,極值和最值.做出草圖，數形結合解決即可

（1）  …………………2分

①當時， ，．

由條件，得恒成立，即恒成立，∴．   ……………………4分

②當時，，．

由條件，得恒成立，即恒成立，∴b≥－2． 

綜合①，②得b的取值范圍是．               ……………6分

（2）令，即………………8分

當時，，．

∵，∴．則．

即，∴在（0，）上是遞增函數．………………………10分

當時，，．

∴在（，＋∞）上是遞增函數．

又因為函數在有意義，∴在（0，＋∞）上是遞增函數．………12分

∵，而，∴，則．∵a≥2，

∴ ，  ……14分

當a≥3時，≥0，∴g(x)＝0在上有惟一解．

當時，<0，∴g(x)＝0在上無解