Question

（2009•閘北區(qū)一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，AB=1，PA•AC=1，∠ABC=θ（0°＜θ≤90°）．
（1）若θ=90°，E為PC的中點，求異面直線PA與BE所成角的大小；
（2）試求四棱錐P-ABCD的體積V的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)O為AC的中點，連接OE，得∠OEB即為異面直線PA與BE所成角，再結(jié)合△BOE為直角三角形以及AB=1，θ=90°，求出AC以及△BOE的兩邊長即可求出∠OEB；
（2）先根據(jù)條件得到四邊形ABCD的面積S=sinθ，由余弦定理可求得AC=

2-2cosθ

，即可得到PA，進而表示出四棱錐P-ABCD的體積，整理后再借助于三角函數(shù)的取值范圍即可解題．

解答：解：（1）設(shè)O為AC的中點，連接OE，
則OE∥PA，∠OEB即為異面直線PA與BE所成角（1分）
∵PA⊥平面ABCD
∴OE⊥平面ABCD
∴△BOE為直角三角形（2分）
∵θ=90°，AB=1，
∴AC=

2

．
又∵PA•AC=1，
∴PA=

2

2

∴OE=

2

4

，BO=

2

2

（2分）
所以，異面直線PA與BE所成角∠OEB=arctan2（1分）
（2）由已知，四邊形ABCD的面積S=sinθ，（1分）
由余弦定理可求得AC=

2-2cosθ

，（1分）
∴PA=

1

2-2cosθ

，（1分）
∴V=

1

3

•

sinθ

2-2cosθ

（1分）
∴V=

2

6

•

sin2θ 1-cosθ

=

2

6

•

1+cosθ

（2分）
所以，當(dāng)cosθ=0，即θ=90°時，四棱錐V-ABCD的體積V的最小值是

2

6

．（2分）

點評：本題主要考查異面直線及其所成的角以及棱錐的體積計算．求異面直線所成的角的關(guān)鍵在于通過作平行線把其轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在三角形中求角．