Question

(本題滿分12分)

如圖所示，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內，M， N分別為AB,DF的中點.

（1^）若CD=2，平面ABCD平面DCEF，求MN的長；

（2^）用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線.

Answer 1

（1^）取CD的中點G，連結MG，NG，

因為ABCD，DCEF為正方形，且邊長為2.

所以MGCD，MG=2，NG=，                               -----------------3分

因為平面ABCD平面DCEF，所以MG平面DCEF，可得MGNG，

所以MN=.                                   ----------------- 6分

（2^）假設直線ME，BN共面，                                   -----------------7分

則AB平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN。

由已知，兩正方形不共面，故AB平面DCEF。                   -----------------9分

又AB//CD，所以AB//平面DCEF，而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，

所以AB//EN，                                                -----------------10分

又AB//CD//EF ,所以EN//EF，這與EN交EF于E矛盾，

故假設不成立，所以ME與BN不共面，它們是異面直線。          -----------------12分