Question

已知拋物線x²=4y上的點P（非原點）處的切線與x軸，y軸分別交于Q，R兩點，F(xiàn)為焦點．
（Ⅰ）若，求λ．
（Ⅱ）若拋物線上的點A滿足條件，求△APR的面積最小值，并寫出此時的切線方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得PR的直線方程為，可求Q，R，由，代入可求λ
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，PA的方程為：，聯(lián)立方程得，解之得A，而=，
令，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求f（t）的最小值及取得最小值時的t，從而可求切線方程
解答：解：（Ⅰ）設(shè)，則PR的直線方程為（切線的斜率），
令y=0得，令x=0得R（0，）
∴，，
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，PA的方程為：，
聯(lián)立方程得，解之得A點的坐標(biāo)為，=，
令，，
令f'（t）=0得，當(dāng)時，f'（t）＜0，當(dāng)時，f'（t）＞0，
所以，f（t）當(dāng)且僅當(dāng)時取最小值，
因為是關(guān)于t的偶函數(shù)，同樣地，當(dāng)時，也取得最小值，
此時切線PR的方程為或．
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求解函數(shù)的最值及直線與曲線相交關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于綜合性試題