Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側面PAD是正三角形且與底面ABCD垂直，E是AB的中點，PC與平面ABCD所成角為30°．
（1）求二面角P-CE-D的大小；
（2）當AD為多長時，點D到平面PCE的距離為2．

Answer 1

分析：設AD的中點為O，BC的中點為F，以O為原點，AD為x軸正半軸，AP為z軸正半軸，OF為y軸正半軸建立空間直角坐標系，
（1）設平面PCE的一個法向量為

n

=(x，y，1)．則二面角P-CE-D的大小即為此法向量與

OP

的夾角的大小．
（2）D（a，0，0），則

CD

=(0，-2

2

a，0)，則點D到平面PCE的距離d=

| CD • n |

| n |

=

2 6

3

a，d=2，則a=

6

2

，AD=

6

．

解答：解：設AD的中點為O，BC的中點為F，以O為原點，AD為x軸正半軸，AP為z軸正半軸，OF為y軸正半軸建立空間直角坐標系，
（1）連接OC，則∠PCO為PC與面AC所成的角，∠PCO=30°，
設AD=2a，則PO=

3

a，OC=3a，
故CD=2

2

a，
則P(0，0，

3

a)，C(a，2

2

a，0)，E(-a，

2

a，0)，

PC

=(a，2

2

a，-

3

a)，

PE

=(-a，

2

a，-

3

a)，
設平面PCE的一個法向量為

n

=(x，y，1)．
則

n • PC =0 n • PE =0

得

n

=(-

3

3

，

6

3

，1)，
又平面DCE的一個法向量

OP

=(0，0，

3

a），cos＜

OP

，

n

＞=

2

2

，
故二面角P-CE-D為

π

4

（8分）
（2）D（a，0，0），則

CD

=(0，-2

2

a，0)，
則點D到平面PCE的距離d=

| CD • n |

| n |

=

2 6

3

a
d=2，則a=

6

2

，AD=

6

（12分）

點評：本小題主要考查棱錐的結構特征，二面角和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．