Question

已知函數f（x）=ln（e^x+a）（a為常數）是R上的奇函數．
（1）求a的值；
（2）討論函數y=

lnx

f(x)

-x2+2ex-m的零點的個數．

Answer 1

分析：（1）根據函數在全體實數上有定義，函數又是一個奇函數，得到函數在自變量0的取值是0，寫出關于a的方程，解方程即可．
（2）把函數變化為兩個基本函數，對于函數的單調性的整理，根據函數的導函數大于零，得到函數遞增，根據函數的單調性求出函數的最值，利用函數的最值進行比較得到結果．

解答：解：（1）∵函數f（x）=ln（e^x+a）（a為常數）是R上的奇函數
∴滿足f（0）=0，
∴ln（1+a）=0，
∴a=0
可以驗證當a=0時，函數是一個奇函數．

（2）由已知得：

lnx

f(x)

=

lnx

x

=x2-2ex+m
令f1(x)=

lnx

x

，f₂（x）=x²-2ex+m
∴f1′(x)=

1-lnx

x2

當x∈（0，e）時，f₁^′（x）≥0
∴f₁（x）在（0，e）上是一個增函數；
當x∈[e，+∞）時，
f^′₁（x）在[e，+∞）上為減函數．
當x=e時，f₁（x）的最大值是

1

e

而f₂（x）=（x-e）²+m-e²
∴當m-e²＞

1

e

，即m＞e2+

1

e

時，方程無解；
當m-e2=

1

e

，即m=e2+

1

e

時，方程有一個根；
當m-e2＜

1

e

時，m＜e2+

1

e

時，方程有兩個根．

點評：本題考查函數的單調性，考查函數的零點的判斷方法，考查函數的導函數的應用，考查利用最值進行比較，得到函數的有無解的情況，本題是一個綜合題目．