Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+a，x∈[1，+∞）．
（1）當(dāng)a=時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）a=時，f（x）=x²+2x+a為具體函數(shù)，比較對稱軸和區(qū)間端點(diǎn)的大小，求得函數(shù)f（x）的最小值
（2）對稱軸和閉區(qū)間都是固定的，就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最小值大于0的問題，可求a的取值范圍
解答：解：（1）a=時，f（x）=x²+2x+，
其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為x=-1，
又∵x∈[1，+∞），
∴f（x）的最小值是f（1）=．
（2）由（1）知f（x）在[1，+∞）上的最小值是f（1）=a+3．
∵f（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，
故只需a+3＞0即可，解得a＞-3．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞-3．
點(diǎn)評：本題的第二問實(shí)質(zhì)是求二次函數(shù)的最值問題，關(guān)于給定解析式的二次函數(shù)在不固定閉區(qū)間上的最值問題，一般是根據(jù)對稱軸和閉區(qū)間的位置關(guān)系來進(jìn)行分類討論，如軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間，最后在綜合歸納得出所需結(jié)論