Question

已知函數f（x）=x³-3ax-1，a≠0
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若f（x）在x=-1處取得極值，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間是增區間，fˊ（x）＜0的區間是減區間．
（2）先根據極值點求出a，然后利用導數研究函數的單調性，求出極值以及端點的函數值，觀察可知m的范圍．
解答：解析：（1）f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
當a＜0時，對x∈R，有f′（x）＞0，
當a＜0時，f（x）的單調增區間為（-∞，+∞）
當a＞0時，由f′（x）＞0解得或；
由f′（x）＜0解得，
當a＞0時，f（x）的單調增區間為；
f（x）的單調減區間為．
（2）因為f（x）在x=-1處取得極大值，
所以f′（-1）=3×（-1）²-3a=0，∴a=1．
所以f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=1．
由（1）中f（x）的單調性可知，f（x）在x=-1處取得極大值f（-1）=1，
在x=1處取得極小值f（1）=-3．
因為直線y=m與函數y=f（x）的圖象有三個不同的交點，
結合f（x）的單調性可知，m的取值范圍是（-3，1）．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及求最值和利用導數研究圖象等問題，屬于中檔題．