Question

已知n為正整數，規定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），已知f(x)=

2(1-x)，0≤x≤1 x-1，  1＜x≤2

，
（1）解不等式f（x）≤x；
（2）設集合A={0，1，2}，對任意x∈A，證明：f₃（x）=x．

Answer 1

分析：（1）利用所給分段函數，分別解不等式，再求它們的并集；
（2）由集合A={0，1，2}，x∈A，利用函數迭代式，分別代入，即可證得．

解答：解：（1）當0≤x≤1時，由2（1-x）≤x有x≥

2

3

，故

2

3

≤x≤1，
當1＜x≤2時，由x-1≤x求得x∈R，故1＜x≤2，
綜上討論可知：

2

3

≤x≤2；
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
在x=0時，f₃（0）=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0，
同理可求x=1時，f₃（1）=1，x=2，f₃（2）=2，
故x∈A時，恒有f₃（x）=x．

點評：本題考查的重點是對函數表達式的理解，考查分段函數，考查函數的迭代，屬于基礎題．