Question

已知函數f（x）=sinx，對于滿足0＜x₁＜x₂＜π的任意 x₁，x₂，給出下列結論
（1）（ x₁-x₂）[f（ x₂）-f（ x₁）]＞0；
（2） x₁f（ x₂）＜x₂f（ x₁）；
（3）f（ x₂）-f（ x₁）＜x₂-x₁；
（4）

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)．
其中正確的結論為

 

．（把所有正確的序號都填上）

Answer 1

分析：本題要借助三角函數的圖象與性質來研究，對四個命題的形式加以變化變成規范的形式，利用相關的性質判斷即可．
對于選項（1）由于（ x₁-x₂）[f（ x₂）-f（ x₁）]＞0等價于

f( x 2)-f( x 1)

x 2-x 1

＜0故可借助函數的圖象得出結論
對于選項（2）由于 x₁f（ x₂）＜x₂f（ x₁）等價于

f( x 2)

x 2

＜

f( x 1)

x 1

，可借助函數的變化率得出結論
對于選項（3）由于f（ x₂）-f（ x₁）＜x₂-x₁等價于

f( x 2)-f( x 1)

x 2-x 1

＜1，故可借助函數的圖象變化規律得出結論
對于選項（4）

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)說明函數是一個凸函數，以此來比較函數的單調性即可得出結論．

解答：解：函數f（x）=sinx，當自變量在（0，π）上變化時，函數的圖象是先升后降，
（1）（ x₁-x₂）[f（ x₂）-f（ x₁）]＞0?

f( x 2)-f( x 1)

x 2-x 1

＜0，即圖象上任意兩點連線的斜率小于0，由函數圖象的性質知，此結論不成立
（2） x₁f（ x₂）＜x₂f（ x₁）?

f( x 2)

x 2

＜

f( x 1)

x 1

，此說明函數的變化率隨著自變量的增大逐漸變小，與函數的變化率的變化相符，故結論正確；
（3）f（ x₂）-f（ x₁）＜x₂-x₁?

f( x 2)-f( x 1)

x 2-x 1

＜1，由導數的定義知此函數在所給的區間上導數值恒小于1，符合題意，故結論正確；
（4）

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)說明函數是一個凸函數，而f（x）=sinx，當自變量在（0，π）上不是凸函數，故此結論不正確
綜上（2）、（3）是正確的
故答案為：（2）、（3）

點評：本題考查正弦函數的圖象，以及正弦函數的單調性，用正弦函數的導數來判斷其單調性，知識性較強．