Question

(經典回放)設點P到點M(－1，0)、N(1，0)的距離之差為2m，到x軸、y軸的距離之比為2，求m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：設點P的坐標為(x，y)，依題意有， 　　即y＝±2x(x≠0)． 　　∵||PM|－|PN||＝2|m|＞0，∴0＜|m|＜1． 　　∵x≠0，∴P(x，y)與M(－1，0)、N(1，0)三點不共線． 　　∴||PM|－|PN||＜|MN|． 　　∴點P在以M、N為焦點， 　　實軸長為2|m|的雙曲線上．∴ 　　把y＝±2x代入雙曲線方程得x2＝． 　　∵1－m2＞0， 　　∴1－5m2＞0．解得0＜|m|＜， 　　即m的取值范圍是(，0)∪(0，)．

提示：

本題主要考查雙曲線的定義、標準方程以及不等式的有關知識．可先求出P點的軌跡方程，再結合雙曲線的定義求參數的范圍．