Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為直角梯形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為矩形．
（Ⅰ）證明：BN⊥平面B₁C₁N；
（II）求二面角C-NB₁-C₁的余弦值；
（III）設M為線段AB的中點，在線段BC上是否存在一點P，使得MP∥平面CNB₁？若存在，指出點P的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：法一建立空間直角坐標系，（Ⅰ）求出向量=0，即可證明：BN⊥平面B₁C₁N；
（II）求出平面CNB₁和平面NB₁C₁的法向量，利用公式求出其余弦值；
（III）設=（a，0，-1），利用⊥⇒•=0，求出a可使得MP∥平面CNB₁
法二：幾何法，（Ⅰ）由已知得B₁C₁⊥平面BNB₁，可得B₁C₁⊥BN，再求證BN⊥B₁N即可證明結論．
（II）過N作NQB₁C₁，∠CNQ是二面角C-B₁N-Q的平面角，然后求解即可．
（III）延長BA、B₁N交于R，連接CR，利用比例關系，推出P的位置，使得MP∥平面CNB₁
解答：解：解法一：（Ⅰ）證明
∵該幾何體的正視圖為直角梯形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為矩形，
∴BA，BC，BB₁兩兩垂直．
以BC，BB₁，BA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，（1分）

則N（0，2，2），B₁（0，4，0），C₁（2，4，0），C（2，0，0）
∵=（0，2，2）•（0，2，-2）=4-4=0=（0，2，2）•（2，0，0）=0（3分）
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁，又NB₁與B₁C₁相交于B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N；（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（0，2，2）是平面C₁B₁N的一個法向量，（5分）
設為平面NCB₁的一個法向量，
則⇒⇒，取=（2，1，1），（7分）
∴，
即二面角C-NB₁-C₁的余弦值為．（9分）
（Ⅲ）∵M（0，0，1）．設P（a，0，0）為BC上一點，則=（a，0，-1），∵MP∥平面CNB₁，
∴⊥⇒•=（a，0，-1）•（2，1，1）=2a-1=0⇒．（12分）
又MP?平面CNB₁，∴MP∥平面CNB₁，∴當BP=時MP∥平面CNB₁．（13分）
解法二：
（Ⅰ）證明：由已知得B₁C₁⊥平面BNB₁，∴B₁C₁⊥BN，
BN=2=B₁N，BB₁=4，∴BB₁²=BN²+B₁N²，∴BN⊥B₁N
又B₁C₁與B₁N交于B₁，∴BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）過N作NQB₁C₁，則BC∥QN，又BN⊥平面C₁B₁N，
∴CQ⊥平面C₁B₁N，則CQ⊥B₁N，QN⊥B₁N，∴∠CNQ是二面角C-B₁N-Q的平面角θ，
在Rt△CNQ中，NQ=2，CQ=2，∴CN=2，cosθ==；

（Ⅲ）延長BA、B₁N交于R，連接CR，∵MP∥平面CNB₁，
MP?平面CBR，平面CBR∩平面CRN于CR，
∴MP∥CR，△RB₁B中ANBB₁，∴A為RB中點，
∴==，∴BP=，因此存在P點使MP∥平面CNB₁．
點評：本題主要考查直線與直線，直線與平面，平面與平面位置關系等基礎知識；考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力．