Question

求拋物線y＝x²與直線x＝1，y＝0所圍成的平面圖形的面積S．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)分割 　　在區間[0，1]上等間隔地插入n－1個點，將它等分成n個小區間：[0，]，[，]，…，[，1]． 　　記第i個區間為[](i＝1，2，…，n)，其長度為Δx＝．分別將上述n－1個分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，它們的面積記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn． 　　S＝． 　　(2)近似代替 　　記f(x)＝x2，當n很大，即Δx很小時，在區間[]上，可以認為f(x)＝x2的值變化很小，近似地等于一個常數，不妨認為它近似地等于左端點處的函數值f()．就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊，這樣，在區間[]上，用小矩形的面積Δ近似地代替ΔSi，即在局部小范圍內“以直代曲”，則有 　　ΔSi≈Δ＝f()ΔS＝()2·Δx＝()2·(i＝1，2，…，n)　　① 　　(3)求和 　　由①Sn＝ 　　＝[0·＋()2·＋…＋()2·]＝[12＋22＋…＋(n－1)2] 　　＝，從而得到S的近似值 　　S≈Sn＝(1－)(1－)　　② 　　(4)逼近 　　分別將區間[0，1]等分成8，16，20，…等份時，可以看到隨著n的不斷增大，即Δx越來越小時，Sn＝(1－)(1－)越來越趨近于S，而當n趨向于＋∞時，②式無限趨向于，即所求面積為．