Question

【題目】在直角坐標系中，點，圓的圓心為，半徑為2.

（Ⅰ）若，直線經過點交圓于、兩點，且，求直線的方程；

（Ⅱ）若圓上存在點滿足，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或.（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）勾股定理求出圓心到直線的距離d，利用d=1以直線的斜率存在、不存在兩種情況進行分類討論；（Ⅱ）設，由求出x、y滿足的關系式，可得點在圓上，推出圓與圓有公共點，所以，列出不等式求解即可.

（Ⅰ）當，圓心為，

圓的方程為，

設圓心到直線的距離為，則.

①若直線的斜率存在，設直線的方程為，即，

，解得，

此時的方程為，即.

②若直線的斜率不存在，直線的方程為，驗證滿足，符合題意.

綜上所述，直線的方程為或.

（Ⅱ）設，則，

于是

由得，即，

所以點在圓上，又點在圓上，

故圓與圓有公共點，即,

于是，解得，

因此實數的取值范圍是.