Question

探求關于x的不等式ax²+bx+c≥0的解集是空集的充要條件是什么？并給出相應的證明.

Answer 1

解：若關于x的不等式ax²+bx+c≥0的解集是空集，由二次函數y=ax²+bx+c的圖象性質，可知或，這就是所探求的必要條件.

以上探求過程，即為必要性的證明過程.

下面證明這一條件也是充分的.

若a=b=0,c＜0，此時的不等式c≥0，一個負數不可能大于或等于零.

此時解集為空集.

若a＜0、b²-4ac＜0，

則y=a(x+)²+，

顯然a(x+)²≤0、＜0.故對任意實數x，原不等式不成立，即其解集是空集.這就證明了其充分性.

綜上所述，關于x的不等式ax²+bx+c≥0的解集是空集的充要條件是或.