Question

正項等比數列{a_n}的前n項和記為S_n，a₁=1，S₃=13
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）等差數列{b_n}的各項為正，且b₂=5，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，設A_n=a_nb_n，求{A_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由a₁=1以及S₃=13求出等比數列的公比，即可得到{a_n}的通項公式；（注意是正項等比數列，公比為正）．
（Ⅱ）先由條件b₂=5，以及a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列求出等差數列{b_n}的通項公式；再利用錯位相減法求出{A_n}的前n項和T_n即可．

解答：解：（Ⅰ）設公比為q，則S₃=1+q+q²=13，
∴q²+q-12=0
∴q=3或q=-4

∵an＞0∴q=3 ∴an=a1•qn-1=3n-1

（Ⅱ）設{b_n}的公差為d，由b₂=5，可設b₁=5-d，b₃=5+d
又a₁=1，a₂=3，a₃=9，由題意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，解得d₁=2，d₂=-10
∵等差數列{b_n}的各項為正，∴d＞0∴d=2，∴b₁=5-d=3
∴b_n=b₁+（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1
∵A_n=a_nb_n=（2n+1）•3^n-1
則T_n=3+5×3+7×3²+9×3³+…+（2n+1）3^n-1①
∴3T_n=3×3+5×3²+7×3³+9×3⁴+…+（2n+1）3ⁿ②
由①-②得-2T_n=3+2×（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n+1）3ⁿ
=3+2

3(1-3n-1)

1-3

-(2n+1)3n=3-3+3ⁿ-（2n+1）3ⁿ=-2n•3ⁿ
∴T_n=n•3ⁿ

點評：本題第二問主要涉及到錯位相減法求數列和的應用問題．錯位相減法求數列和適用與一等差數列與一等比數列組成的新數列．