Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC，F為BB₁上一點，BF=BC=2，FB₁=1，D為BC中點，E為線段AD上不同于點A、D的任意一點．
（I）證明：EF⊥FC₁；
（II）若AB=，求DF與平面FA₁C₁所成的角．

Answer 1

解：（1）AB=AC，，D為BC的中點∴AD⊥BC
∵BB₁⊥平面ABC∴BB₁⊥AD
∴AD⊥平面B₁BCC₁∴AD⊥FC₁
∵BC=BF=2∴DB=1，又 FB₁=1
∴Rt△DBF∽Rt△FB₁C₁∴，
∴C₁F⊥FD∵FD∩AD=D
∴C₁F⊥平面DEF∴C₁F⊥EF
（2）設點D到FA₁C₁的距離為h
由（1）知C₁F⊥FD
用等體積法可知
∴∴
設DF與平面FA₁C₁所成的角為θ
則=
∴DF與平面FA₁C₁所成的角
分析：（1）要證C₁F⊥EF，只需證明C₁F⊥平面DEF，由AB=AC，，D為BC的中點可得AD⊥BC，由BB₁⊥平面ABC 可得BB₁⊥AD，由AD⊥平面B₁BCC₁ 可得AD⊥FC₁，然后根據已知可證C₁F⊥FD，根據線面垂直的判定定理
可得
（2）設DF與平面FA₁C₁所成的角為θ，點D到FA₁C₁的距離為h，利用等體積法可求h，由可求
點評：本題主要考查了線線垂直與線面垂直的相互轉換的應用，而（2）問的求解主要是利用了等體積法求解點到面的距離，這是求解距離的常用方法，避免了做垂線的難點，求而不作．