Question

18、已知函數f（x）=x³-ax²+bx+c的圖象為曲線C．
（1）若曲線C上存在點P，使曲線C在P點處的切線與x軸平行，求a，b的關系；
（2）若函數f（x）可以在x=-1和x=3時取得極值，求此時a，b的值；
（3）在滿足（2）的條件下，f（x）＜2c在x∈[-2，6]恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）切線與x軸平行等價于函數在該點處取到極值，即函數存在導數值為零的點．利用二次方程有根的條件進行求解；
（2）函數f（x）可以在x=-1和x=3時取得極值，可以得出函數在x=-1和x=3處導數值為零，利用韋達定理確定出a，b的值；
（3）將恒成立問題轉化為函數在給定區間上的最值問題，通過求出函數的最值達到求解該題的目的．

解答：解：（1）f'（x）=2x²-2ax+b，設切點為P（x₀，y₀），
則曲線y=f（x）在點P的切線的斜率k=f'（x₀）=3x₀²-2ax₀+b
由題意知f'（x₀）=3x₀²-2ax₀+b=0有解，
∴△=4a²-12b≥0，即a²≥3b．

（2）若函數f（x）可以在x=-1和x=3處取得極值，
則f'（x）=3x²-2ax+b有兩個解x=-1和x=3，且滿足a²≥3b，
利用韋達定理得a=3，b=-9．

（3）由（2）得f（x）=x³-3x²-9x+c根據題意，c＞x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）恒成立，
∵函數g（x）=x³-3x²-9x（x∈[-2，6]），由g′（x）=3x²-6x-9，令g′（x）=0得出x=-1或3，
當x∈[-2，-1）時，g′（x）＞0，g（x）在x∈[-2，-1）上單調遞增，
當x∈（-1，3）時，g′（x）＜0，g（x）在x∈（-1，3）上單調遞減，
當x∈（-1，6），g′（x）＞0，g（x）在x∈（-1，6）上單調遞增，
因此，g（x）在x=-1時有極大值5，且g（6）=54，g（-2）=-2．
∴函數g（x）=x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）的最大值為54，所以c＞54．

點評：本題考查函數的極值與導數之間的關系，考查函數有極值的條件．要準確求解函數的導數，考查分離變量思想解決函數恒成立問題，考查學生的轉化與化歸思想．