Question

一個四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若E為CD中點，求證面PBD垂直于面PAE．

Answer 1

分析：（1）三視圖復原幾何體，是一條側棱垂直底面直角梯形的時邊的直角頂點，結合三視圖的數據，直接求出幾何體的體積．
（2）E為CD中點，如圖，連接AE，BD，證明BD⊥平面PAE中的兩條相交直線：PA，AE，即可證明面PBD垂直于面PAE．

解答：解：（1）三視圖復原幾何體，是一條側棱垂直底面直角梯形的時邊的直角頂點，
四棱錐的高為：2，底面直角梯形的底邊為：4，高為：2，上底邊長為：2，
所以四棱錐的體積為：

1

3

×

(4+2)

2

× 2×2=4．
（2）連接AE，BD，ABED是正方形，
所以BD⊥AE，PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴BD⊥PA，PA∩AE=A，BD⊥平面PAE，
∵BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAE．

點評：本題考查三視圖的復原，幾何體的體積的求法，平面與平面垂直的證明，考查同學的空間想象能力，視圖能力，計算能力，常考題型．