Question

已知曲線C：xy-4x+4=0，數列{a_n}的首項a₁=4，且當n≥2時，點（a_n-1，a_n）恒在曲線C上，數列{b_n}滿足．
（1）試判斷數列{b_n}是否是等差數列？并說明理由；
（2）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（3）設數列{c_n}滿足a_nb_n²c_n=1，試比較數列{c_n}的前n項和S_n與2的大小．

Answer 1

解：（1）∵當n≥2時，點（a_n-1，a_n）恒在曲線C上
∴a_n-1a_n-4a_n-1+4=0（1分）
由得
當n≥2時，
=
=
=（4分）
∴數列{b_n}是公差為的等差數列；（5分）
（2）∵a₁=4，∴
∴（7分）
由得（9分）
（3）∵a_nb_n²c_n=1
∴=（10分）
∴S_n=c₁+c₂++c_n=
=．（12分）
分析：本題以點（a_n-1，a_n）恒在曲線C：xy-4x+4=0上為情景，考查等差數列的證明、求數列的通項公式、求數列的前n項和等數列知識和研究方法；
（1）根據點（a_n-1，a_n）在曲線C上，將其代入方程可得：a_n-1a_n-4a_n-1+4=0，由相鄰兩項作差得到-，所以數列{b_n}是等差數列
（2）由（1）知數列{b_n}是等差數列，首項和公差易得，所以數列{b_n}的通項公式可求，再根據兩個數列的關系，數列{a_n}的通項公式可直接獲得；
（3）根據數列{c_n}滿足a_nb_n²c_n=1，由（2）可得數列{c_n}的通項公式，前n項和可由“裂項法”求得，與2的大小比較易得．
點評：本題綜合性強，知識聯系廣泛，涉及了數列的證明、通項公式、求和公式等，但解題思路清晰、方向明確；
注意在數列{b_n}是否是等差數列的判斷時，運用b_n-b_n-1容易進行判斷，在（3）得到S_n=c₁+c₂++c_n==后，會變形為易得．