Question

已知橢圓G：

x2

4

+y2=1．過點（m，0）作圓x²+y²=1的切線I交橢圓G于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓G的焦點坐標和離心率；
（Ⅱ）將|AB|表示為m的函數，并求|AB|的最大值．

Answer 1

分析：（I）由題意及橢圓和圓的標準方程，利用橢圓離心率的定義和點到直線的距離公式即可求解；
（II）由題意即m得取值范圍分m=1時，m=-1及當m≠±1三大類求出|AB|的長度，利用直線方程與橢圓方程進行聯立，利用根與系數的關系得到k與m之間關系等式，利用

解答：解：（I）由題意得a=2，b=1，所以c=

3

∴橢圓G的焦點坐標(-

3

，0)  (

3

，0) 離心率e=

c

a

=

3

2

．
（II）由題意知：|m|≥1，
當m=1時，切線l的方程為x=1，點A（1，

3

2

）  點B（1，-

3

2

） 此時|AB|=

3

；
當m=-1時，同理可得|AB|=

3

；
當|m|＞1時，設切線l的方程為：y=k（x-m），由

y=k(x-m) x2 4 +y2=1

?（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x1•x2=

4k2m2-4

1+4k2

  
又由l與圓x²+y²=1相切∴圓心到直線l的距離等于圓的半徑即

|km|

1+k2

=1?m²=

1+k2

k2

，
所以|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4 x1•x2]

=

(1+k2)•[ 64k4m2 (1+4k2)2 - 4(4k2m2-4) 1+4k2

]=

4 3 |m|

m2+3

，由于當m=±1時，|AB|=

3

，
當m≠±1時，|AB|=

4 3 |m|

m2+3

，此時m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）
又|AB|=

4 3 |m|

m2+3

 =

4 3

|m|+ 3 |m|

≤2（當且僅當m=±

3

時，|AB|=2），
所以，|AB|的最大值為2．
故|AB|的最大值為2．

點評：此題重點考查了橢圓及圓的標準方程，還考查了點到直線的距離公式，對于第二問，重點考查了利用m的范圍分裂進行討論，聯立直線與橢圓的方程利用整體代換的思想建立m與k的關系等式，還考查兩點間的距離公式及又m的范圍解出|AB|的最值．