Question

已知

1

3

≤a≤1，若f（x）=ax²-2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值M（a），最小值N（a），設g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）判斷g（a）單調(diào)性，求g（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件a＞0，知函數(shù)是二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線．因此討論對稱軸：x=

1

a

與區(qū)間[1，3]的關系，得到函數(shù)的單調(diào)性后再找出相應的最值，即可得g（a）的解析式；
（2）通過求導數(shù)，討論其正負，可得到函數(shù)g（a）在區(qū)間[

1

3

，

1

2

]上單調(diào)減，而在（

1

2

，1]上單調(diào)增，因此不難得出
g（a）的最小值為g（

1

2

）=

1

2

．

解答：解：（1）當

1

3

≤a≤

1

2

時N（a）=f（

1

a

），M（a）=f（1），
此時g（a）=f（1）-f（

1

a

）=a+

1

a

-2；
當

1

2

＜a≤1時N（a）=f（

1

a

），M（a）=f（3），
此時g（a）=f（3）-f（

1

a

）=9a+

1

a

-6；
∴g（a）=

a+ 1 a -2         1 3 ≤ a≤ 1 2 9a+ 1 a -6    1 2 ＜a≤1

      …（6分）
（2）當

1

3

≤a≤

1

2

時，∵g（a）=a+

1

a

-2，∴g′（a）=1-

1

a2

＜0，
∴g（a）在[

1

3

，

1

2

]上單調(diào)遞減．
同理可知g（a）在（

1

2

，1]上單調(diào)遞增
∴g（a）_min=g（

1

2

）=

1

2

．…（12分）

點評：本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，屬于基礎題．研究二次函數(shù)的最值的關鍵是用其圖象，或用導數(shù)研究它的單調(diào)性．