Question

已知拋物線C：y²=8x，直線l與C交于A，B兩點，若

OA

•

OB

=0，則點O到直線l的最大距離為（　　）

A．2

B．4

C．8

D．-4

Answer 1

分析：對直線OA的斜率分類討論：①設(shè)直線OA的方程為y=kx（k＞0，k≠1），利用

OA

•

OB

=0，可得直線OB的方程為y=-

1

k

x．聯(lián)立

y=kx y2=8x

，解得點A的坐標(biāo)．同理可得B點的坐標(biāo)．可得直線AB即l的方程，利用點到直線的距離公式可得點O到直線l的距離d，再利用基本不等式可得．
②當(dāng)直線OA的斜率為1時，方程為y=x，由于

OA

•

OB

=0，可得直線OB的方程為y=-x．聯(lián)立

y=x y2=8x

，解得A，同理可得B．由于此時直線l⊥x軸，即可得到點O到直線l的距離d．比較①②即可得出．

解答：解：①設(shè)直線OA的方程為y=kx（k＞0，k≠1），∵

OA

•

OB

=0，∴直線OB的方程為y=-

1

k

x．
聯(lián)立

y=kx y2=8x

，解得

x=0 y=0

，或

x= 8 k2 y= 8 k

，∴A(

8

k2

，

8

k

)．
同理可得：B（8k²，-8k）．
∴k_AB=

8 k +8k

8 k2 -8k2

=

k

1-k2

，
∴直線AB即l的方程為y+8k=

k

1-k2

(x-8k2)，化為kx+（k²-1）y-8k=0．
∴點O到直線l的距離d=

8k

k2+(k2-1)2

=

8

k2+ 1 k2 -1

＜

8

2-1

=8．
②當(dāng)直線OA的斜率為1時，方程為y=x，∵

OA

•

OB

=0，∴直線OB的方程為y=-x．
聯(lián)立

y=x y2=8x

，解得

x=0 y=0

，或

x=8 y=8

，∴A（8，8）．
同理可得B（8，-8）．
此時直線l⊥x軸，∴點O到直線l的距離d=8．
綜上①②可知：點O到直線l的最大距離為8．
故選C．

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題、直線相互垂直的斜率之間的關(guān)系、點到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．