Question

某單位的聯歡活動中有一種摸球游戲，已知甲口袋中大小相同的3個球，其中2個紅球，1個黑球；乙口袋中有大小相同的2個球，其中1個紅球，1個白球．每次從一只口袋中摸一個球，確定顏色后再放回．摸球的規則是：先從甲口袋中摸一個球，如果摸到的不是紅球，繼續從甲口袋中摸一個球，只有當從甲口袋中摸到紅球時，才可繼續從乙口袋里摸球．從每個口袋里摸球時，如果連續兩次從同一口袋中摸到的都不是紅球，則該游戲者的游戲停止．游戲規定，如果游戲者摸到2個紅球，那么游戲者就中獎．現假設各次摸球均互不影響．
（Ⅰ）一個游戲者只摸2次就中獎的概率；
（Ⅱ）在游戲中，如果某一個游戲者不放棄所有的摸球機會，記他摸球的次數為ξ，求ξ 的數學期望．

Answer 1

分析：從甲口袋中摸一個球，摸到的球是紅球的概率為

2

3

，從乙口袋里摸一個球，摸到的球是紅球的概率為

1

2

．
（I）一個游戲者只摸2次就中獎，說明他第一次從甲口袋中摸到的球是紅球，第二次從乙口袋中摸到的球也是紅球，利用相互獨立事件的概率計算公式即可得出．．
（II）ξ可取2，3，4．用A表示“從甲口袋中摸一個球，摸到的球是紅球”，

.

A

表示“從甲口袋中摸一個球，摸到的球不是紅球”，則P（A）=

2

3

，P(

.

A

)=

1

3

．用B表示“從乙口袋中摸一個球，摸到的球是紅球”，

.

B

表示“從乙口袋中摸一個球，摸到的球不是紅球”，則P（B）=P(

.

B

)=

1

2

．
P（ξ=2）=P（AB）+P(

.

A

.

A

)；P（ξ=3）=P(A

.

B

B)+P(A

.

B

.

B

)+P(

.

A

AB)；P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）．得出分布列，再由公式求期望即可

解答：解：從甲口袋中摸一個球，摸到的球是紅球的概率為

2

3

，從乙口袋里摸一個球，摸到的球是紅球的概率為

1

2

．
（I）一個游戲者只摸2次就中獎，說明他第一次從甲口袋中摸到的球是紅球，第二次從乙口袋中摸到的球也是紅球，
故所求的概率P=

2

3

×

1

2

=

1

3

．
（II）ξ可取2，3，4．
用A表示“從甲口袋中摸一個球，摸到的球是紅球”，

.

A

表示“從甲口袋中摸一個球，摸到的球不是紅球”，則P（A）=

2

3

，P(

.

A

)=

1

3

．
用B表示“從乙口袋中摸一個球，摸到的球是紅球”，

.

B

表示“從乙口袋中摸一個球，摸到的球不是紅球”，則P（B）=P(

.

B

)=

1

2

．
P（ξ=2）=P（AB）+P(

.

A

.

A

)=

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

=

4

9

．
P（ξ=3）=P(A

.

B

B)+P(A

.

B

.

B

)+P(

.

A

AB)=

2

3

×

1

2

×

1

2

+

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

=

4

9

．
P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）=

1

9

．
可得ξ的分布列為

ξ	2	3	4
P（ξ）	4 9	4 9	1 9

Eξ=2×

4

9

+3×

4

9

+4×

1

9

=

8

3

．

點評：本題考查了相互獨立事件的概率計算公式、相互對立事件的概率計算公式、互斥事件的概率計算、分類討論、隨機變量的分布列及其數學期望，屬于難題．