Question

【題目】如圖，在五面體中，側面是正方形，是等腰直角三角形，點是正方形對角線的交點，且．

（1）證明：平面．

（2）若側面與底面垂直，求五面體的體積

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）45

【解析】

（1）取的中點，連接，證明四邊形是平行四邊形，利用線面平行的判定定理即可證明；

（2）取的中點，的中點，連接，將該五面體分成三棱柱和四棱錐的體積和，即可得出該五面體的體積.

（1）證明：取的中點，連接

如圖所示，因為，且

又側面是正方形，且

所以，且；

所以四邊形是平行四邊形，所以；

因為平面，平面，所以平面；

（2）取的中點，的中點，連接．則幾何體為三棱柱；

因為側面與底面垂直，且，所以底面；

由題意知，

所以三棱柱的體積為；

因為為的中點，

所以

又側面與底面垂直，所以平面，所以平面；

又，則四棱錐的體積為

即五面體的體積為．