Question

已知二次函數f(x)＝ax²＋bx＋c，(a<0)不等式f(x)>－2x的解集為(1,3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有兩個相等的實根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值為正數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

(1)∵不等式f(x)>－2x的解集為(1,3)，
∴x＝1和x＝3是方程ax²＋(b＋2)x＋c＝0(a<0)的兩根，
∴，∴b＝－4a－2，c＝3a，
又方程f(x)＋6a＝0有兩個相等的實根．
∴Δ＝b²－4a(c＋6a)＝0，∴4(2a＋1)²－4a×9a＝0.
∴(5a＋1)(1－a)＝0，∴a＝－或a＝1(舍)．
∴a＝－，b＝－，c＝－，
∴f(x)＝－x²－x－.
(2)由(1)知f(x)＝ax²－2(2a＋1)x＋3a
＝a²－＋3a
＝a²＋
∵a<0，
∴f(x)的最大值為，
∵f(x)的最大值為正數．
∴
∴解得a<－2－或－2＋<a<0.
∴所求實數a的取值范圍是∪(－2＋，0)．

略