Question

已知：二次函數f（x）=ax²+bx+c同時滿足條件：①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③對任意實數恒成立．
（1）求y=f（x）的表達式；
（2）數列{a_n}，{b_n}，若對任意n均存在一個函數g_n（x），使得對任意的非零實數x都滿足g_n（x）•f（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹，（n∈N*），求：數列{a_n}與{b_n}的通項公式．

Answer 1

解：（1）由條件得

由恒成立，
∴，
整理，得，
解得a=1

∴f（x）=x²-3x+2

（2）∵f（1）=0，f（2）=0，
又因為g（x）•f（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹恒成立，
令x=1，得a_n+b_n=1

令x=2，得2a_n+b_n=2ⁿ⁺¹

∴a_n=2ⁿ⁺¹-1，
b_n=2-2ⁿ⁺¹

分析：（1）由條件得．由恒成立，由此能求出f（x）的表達式．
（2）f（1）=0，f（2）=0，因為g（x）•f（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹恒成立，令x=1得a_n+b_n=1，令x=2得2a_n+b_n=2ⁿ⁺¹，由此能求出數列{a_n}與{b_n}的通項公式．
點評：本題考查函數表達式的求法和數列通項公式的計算．解題時要認真審題，仔細解答，注意迭代法的靈活運用．