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四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，

（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）求二面角D﹣PC﹣A的平面角的余弦值；
（3）求點B到平面PCD的距離．
解：（1）證明：∵PA⊥底面ABCD，BC平面ABCD，
∵PA⊥BC，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC；
（2）取CD的中點E，則AE⊥CD，∴AE⊥AB．
又PA⊥底面ABCD，AE面ABCD，∴PA⊥AE，
建立空間直角坐標系，如圖．則


∴
∴
∴
∴即二面角D﹣PC﹣A的平面角的余弦值為：．
（3）又B（0，2，0），=（0，2，﹣）．
由（2）取平面PCD的一個法向量=（2，0，1）
∴點B到平面PCD的距離的距離為d===．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PD、PC、BC的中點．
（I）求證：PA∥平面EFG；
（II）求平面EFG⊥平面PAD；
（III）若M是線段CD上一點，求三棱錐M-EFG的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•上海）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，已知AB=2，AD=2
2
，PA=2，求：
（1）三角形PCD的面積；
（2）異面直線BC與AE所成的角的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，側面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=
12
，AD=1．
（I）求證：CD⊥平面PAC
（II）求二面角A-PD-C的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，M為AB的中點．
（1）求證：BC∥平面PMD；
（2）求證：PC⊥BC；
（3）求點A到平面PBC的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q為AD的中點．
（1）求證：PA∥平面MDB；
（2）求證：AD⊥平面PQB；
（3）若平面PAD⊥平面ABCD，且M為PC的中點，求四棱錐M-ABCD的體積．

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