Question

(2006江西，21)如圖所示，橢圓(a＞b＞0)的右焦點為F(c，0)，過點F的一動直線m繞點F轉動，并且交橢圓于A、B兩點，P為線段AB的中點．

(1)求點P的軌跡H的方程；

(2)若在Q的方程中，令，．確定θ的值，使原點距橢圓Q的右準線l最遠．此時，設l與x軸交點為D，當直線m繞點F轉動到什么位置時，△ABD的面積最大?

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)設橢圓上的點、，又設P點坐標為P(x，y)， 則 (i)當AB不垂直x軸時，， 由①－②得 ． ∴， ∴　　（*） (ii)當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程（*）， 故所求點P的軌跡H的方程為． (2)因為橢圓Q右準線l方程是，原點距橢圓Q的右準線l的距離為，由于，，． 則． 當時，上式達到最大值，所以當時，原點距橢圓Q的右準線l最遠．此時，，c=1，D(2，0)，|DF|=1． 設橢圓上的點、， △ABD面積． 設直線m的方程為x=ky＋1，代入中， 得． 由韋達定理得， ，， 令，得，當t=1，即k=0時取等號． 因此，當直線m繞點F轉動到垂直x軸位置時，三角形ABD的面積最大．