Question

【題目】已知一條曲線C在y軸右側(cè)，曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到y軸的距離都等于1.

（1）求曲線C的方程；

（2）直線與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線與關(guān)于x軸對(duì)稱而與直線的位置無(wú)關(guān)，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）直接根據(jù)題意得到方程化簡(jiǎn)得到答案.

（2）設(shè)，，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)關(guān)系，計(jì)算，化簡(jiǎn)整理得到答案.

（1）設(shè)是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)滿足：，

化簡(jiǎn)得，又因?yàn)榍�線C在y軸右側(cè)，故，

所以曲線C方程為：.

（2）在x軸上存在定點(diǎn)使得直線與關(guān)于x軸對(duì)稱而與位置無(wú)關(guān).

理由如下：

設(shè)直線與曲線C的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，

由，消去x，整理得，，

由韋達(dá)定理得，，.

假設(shè)存在點(diǎn)，使得直線與關(guān)于x軸對(duì)稱而與位置無(wú)關(guān)，

則對(duì)任意實(shí)數(shù)m恒成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)m恒成立，

而，所以，

所以，又，所以.

故當(dāng)對(duì)任意實(shí)數(shù)m，，

即在x軸上存在點(diǎn)，使得直線與關(guān)于x軸對(duì)稱而與位置無(wú)關(guān).