Question

在等差數列{a_n}中，a₁=3，其前n項和為S_n，等比數列{b_n}的各項均為正數，b₁=1，公比為q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=

S2

b2

，建立方程組，即可求出a_n與b_n；
（2）由a_n=3n，bn=3n-1，知c_n=a_n•b_n=n•3ⁿ，由此利用錯位相減法能求出數列{c_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵在等差數列{a_n}中，a₁=3，其前n項和為S_n，
等比數列{b_n}的各項均為正數，b₁=1，公比為q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
∴b₂=b₁q=q，

q+3+a2=12 q= 3+a2 q

，（3分）
解方程組得，q=3或q=-4（舍去），a₂=6（5分）
∴a_n=3+3（n-1）=3n，bn=3n-1．（7分）
（2）∵a_n=3n，bn=3n-1，
∴c_n=a_n•b_n=n•3ⁿ，
∴數列{c_n}的前n項和
T_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，
∴3T_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹
=

3(1-3n)

1-3

-n×3ⁿ⁺¹
=

3

2

(3n-1)-n×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=

n

2

×3ⁿ⁺¹-

3

4

(3n-1)．

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，注意等差數列、等比數列的性質和錯位相減法的合理運用．